Program Linier

Dalam kehidupan sehari-hari, kata statistik dapat diartikan sebagai kumpulan angka-angka yang menggambarkan suatu masalah. Statistik korban gempa kabupaten Bantul misalnya, berisi angka-angka mengenai banyaknya korban misalnya yang mengalami luka ringan, luka berat, dan meninggal. Contoh lain misalnya data korban kecelakaan lalu lintas dari kantor polisi lalu lintas.

Statistik juga diartikan sebagai suatu ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu. Misalnya rata-rata skor tes matematika kelas XI adalah 78 atau benda lebih dari 90% penduduk Indonesia berada di pedesaan. Sedangkan pengertian statistika sesungguhnya adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara penyusunan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan mengenai suatu keseluruhan berdasarkan data yang ada pada bagian dari keseluruhan tadi. Keseluruhan objek yang diteleti disebut populasi sedangkan bagian dari populasi disebut sampel.

Menurut fungsinya, statistika dibedakan menjadi dua jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika induktif (inferensial). Statistika deskriptif adalah bagian statistika yang mempelajari cara penyusunan dan penyajian data yang dikumpulkan. Penyusunan data dimaksudkan untuk memberikan gambaran mengenai urutan data atau kelompok data, sehingga pengguna data dapat mengenalinya dengan mudah. Penyajian data dimaksudkan untuk memberikan gambaran mengenai data atau kelompok data dalam bentuk tabel, diagram, atau gambar.
Statistika induktif atau inferensial adalah bagian statistika yang mempelajari tata cara penarikan kesimpulan yang valid mengenai populasi berdasarkan data pada sampel. Dalam menarik kesimpulan pada statistika inferensial biasanya digunakan unsur peluang.

Bila membicarakan statistika, maka tidak lepas dengan apa yang disebut data. Data dapat diartikan sebagai keterangan yang diperlukan untuk memecahkan suatu masalah. Berikut ini diberikan macam-macam data ditinjau menurut sifatnya, yaitu:

1. Data kualitatif, yaitu data yang berbentuk kategori atau atribut.
Misal:

a. Harga mobil semakin terjangkau

b. Murid-murid di SD Negeri 3 rajin-rajin.
2. Data kuantitatif, yaitu data yang berupa bilangan.
Misal:
a. Banyaknya siswa pada kelas II adalah 240.
b Tinggi pohon itu adalah 10 meter.
Menyajikan data dalam bentuk diagram
Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.

Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

Contoh soal
Ranah privat (pengaduan) dari koran Solo Pos pada tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkan
seperti tabel berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran.
Penyelesaian
Sebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya sudut dalam lingkaran dari data tersebut.
1. CPNS/Honda/GTT = 5/100 x 360° = 18°
2. Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan = 9/100 x 360° = 32,4°
3. Masalah lingkungan/kebersihan = 6/100 x 360° = 21,6°
4. Kesehatan/PKMS/Askeskin = 3/100 x 360° = 10,8°
5. Lalu lintas/penertiban jalan = 6/100 x 360° = 21,6°
6. Revitalisasi/budaya Jawa = 20/100 x 360° = 72°
7. Parkir = 3/100 x 360° = 10,8°
8. Pekat/penipuan/preman = 7/100 x 360° = 25,2°
9. Persis/olahraga = 10/100 x 360° = 36°
10. PKL/Bangunan liar = 2/100 x 360° = 7,2°
11. PLN dan PDAM = 2/100 x 360° = 7,2°
12. Provider HP = 7/100 x 360° = 25,2°
13. Tayangan TV/radio/koran = 3/100 x 360° = 10,8°
14. Lain-lain = 17/100 x 360° = 61,2°
Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut.

Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah. Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh soal
Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalah
sebagai berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian
Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.

Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi
Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika
dari 40 siswa kelas XI berikut ini.
66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80
dari data diatas, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi sbb:

Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi
bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.
a. Interval Kelas
Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas
saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.
65 – 67 → Interval kelas pertama
68 – 70 → Interval kelas kedua
71 – 73 → Interval kelas ketiga
74 – 76 → Interval kelas keempat
77 – 79 → Interval kelas kelima
80 – 82 → Interval kelas keenam
b. Batas Kelas
Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80
merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79,
dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.
c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepi
bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.
d. Lebar kelas
Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:
Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.
e. Titik Tengah
Untuk mencari titik tengah dapat dipakai rumus:
Titik tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah)
Dari tabel di atas: titik tengah kelas pertama = 1/2(67 + 65) = 66
titik tengah kedua = 1/2(70 + 68) = 69
dan seterusnya.
Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

Dari tabel di atas dapat dibuat daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari seperti berikut.

Histogram

Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan
sebagai berikut.

Poligon Frekuensi
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnya
dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas
dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.

contoh soal:
Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi
bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.

Penyelesaian
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Poligon Frekuensi Kumulatif
Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di samping.
a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.
b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.

b. Ogive naik dan ogive turun
Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidang
Cartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; …; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; …; 79,5)
diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi
kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan
dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive,
yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan
distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan
distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.
Ogive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.

 

 

 

Semoga Bermanfaat :-)

Read the rest of this entry »

Aproksimasi Kesalahan

A. Pengertian Membilang dan Mengukur

        Membilang adalah suatu kegiatan yang hasilnya bersifat eksak (pasti). Contoh: Banyaknya telur dalam keranjang, tumpukan baju yang ada di dalam lemari, dan banyaknya siswa dalam kelas. Mengukur adalah suatu kegiatan yang hasilnya tidak bersifat eksak. Contoh: Tinggi monas, volume air dalam bak mandi, dan kecepatan kendaraan. 

Terdapat 3 cara pembulatan:

1. Pembulatan ke Ukuran Satuan Terdekat

    Contoh:

    58,66 cm    = 59 cm (pembulatan ke cm terdekat)

12,18 detik = 12,2 detik (pembulatan ke persepuluhan detik terdekat)

2. Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal

    Contoh:

    Tentukan pembulatan 13,2503 ke:

    a. pembulatan sampai 3 tempat desimal

    b. pembulatan sampai 2 tempat desimal

    c. pembulatan sampai 1 tempat desimal

    Jawab:

    a. 13,250 (pembulatan sampai 3 tempat desimal)

    b. 13,25 (pembulatan sampai 2 tempat desimal)

    c. 13,3 (pembulatan sampai 1 tempat desimal)

3. Pembulatan ke Banyaknya Angka-Angka Signifikan

    Contoh:

    Tentukan banyaknya angka signifikan dari soal berikut!

    a. 8,146 = memiliki 4 angka signifikan

    b. 7,07   = memiliki 3 angka signifikan

    c. 0,021 = memiliki 2 angka signifikan

    d. 4,050 = memiliki 4 angka signifikan

Aturan Pembulatan

"Jika angka berikutnya (yang akan dihilangkan) lebih besar dan sama dengan 5, angka ini hilang dan angka di depannya ditambah satu. Jika angka berikutnya (yang akan dihilangkan) lebih kecil dari 5, angka ini dihilangkan dan angka di depannya tetap".

B. Kesalahan Pengukuran

1. Salah Mutlak

              Salah Mutlak = ½ ´ Satuan Ukuran Terkecil

Contoh:

     Pak Huda menimbang 1 kantong plastik yang berisi buah apel. Angka pada timbangan menunjukkan 2,5 kg. Tentukanlah salah mutlak dari pengukuran yang dilakukan oleh Pak Huda!

Jawab:

Hasil pengukuran = 2,5 kg

Salah mutlak = ½ ´ satuan ukuran terkecil

                    = ½ ´ 0,1 kg

                           = 0,05 kg

2. Salah Relatif

             Salah relatif = Salah Mutlak per Hasil Pengukuran

Contoh:

Setiap cincin ketika ditimbang ternyata beratnya 0,8 kg. Tentukanlah salah relatif dari pengukuran tersebut!

Jawab:

Satuan ukuran terkecil = 0,1 gram

Salah mutlak = 1/2 x 0,1 gram = 0,05 gram

Salah relatif = 0,05/0,8 = 0,0625 gram

3. Persentase Kesalahan

              Persentase Kesalahan = Salah Relatif x 100%

Contoh:

Sepucuk surat setelah ditimbang, ternyata beratnya 0,8 gram.

Carilah persentase kesalahan pengukuran tersebut!

Jawab:

Satuan ukuran terkecil = 0,1 gram

Salah mutlak relatif = 1/2 x 0,1 gram = 0,05 gram

Salah relatif = 0,05/0,8 = 0,0625 gram

Persentase kesalahan = 0,0625 x 100% = 6,25 %

4. Toleransi

              Toleransi = Batas Atas - Batas Bawah

Contoh:

Diketahui hasil pengukuran 65 cm. Tentukanlah nilai toleransinya!

Jawab:

Salah Mutlak = 0,5

Batas atas     = Hasil pengukuran + Salah mutlak

                     = 65 + 0,5 = 65,5 cm

Batas bawah  = Hasil pengukuran - Salah mutlak
                     = 65 - 0,5 = 64,5 cm
Toleransi       = Batas atas - Batas bawah
                    = 65,5 - 64,5 = 1 cm


C. Operasi Hitung Hasil Pengukuran
1. Penjumlahan Hasil Pengukuran
              Jumlah maksimum = BA pengukuran I + BA Pengukuran II
              Jumlah minimum    = BB pengukuran I + BB Pengukuran II
2. Pengurangan Hasil Pengukuran
              Selisih maksimum = BA pengukuran I - BB Pengukuran II
              Selisih minimum    = BB pengukuran I - BA Pengukuran II
3. Perkalian Hasil Pengukuran
              Ukuran maksimum = BA pengukuran I x BA Pengukuran II
              Ukuran minimum    = BB pengukuran I x BB Pengukuran II



Keterangan:
BA  = Batas Atas
BB  = Batas Bawah



Contoh:
Hasil pengukuran dua buah tali adalah 25 cm dan 24 cm. Tentukanlah:
a. Jumlah hasil pengukuran
b. Selisih hasil pengukuran
c. Perkalian hasil pengukuran
Jawab:
> Hasil pengukuran 25 cm
   Batas atas     = 25 + 0,5 = 25,5 
   Batas bawah = 25 - 0,5 = 24,5
> Hasil pengukuran 24 cm
   Batas atas     = 24 + 0,5 = 24,5
   Batas bawah = 24 - 0,5 = 23,5
a. Jumlah maksimum   = 25,5 + 24,5 = 50 cm
    Jumlah minimum     = 24,5 + 23,5 = 48 cm
b. Selisih maksimum   = 25,5 - 23,5 = 2 cm
    Selisih minimum      = 24,5 - 24,5 = 0 cm
c. Ukuran maksimum  = 25,5 x 24,5 = 624,75 cm
    Ukuran minimum    = 24,5 x 23,5 = 575,75 cm

Read the rest of this entry »

Irisan Kerucut

Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola

Definisi

Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

• Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
• Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)

Luas lingkaran = π.r² (r = jari-jari)
Contoh gambar:
Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2

Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.

• Titik itu disebut fokus/titik api (F)
• Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
• Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
• Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
• Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri

Contoh gambar:
Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

Elips
(1) Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

• Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

• Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
• Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor
• Pusat elips adalah titik tengah F₁ dan F₂
• Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor

Luas Elips = π.a.b  (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal)
Contoh gambar:
Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

Hiperbola
(1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

• Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

• Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F₁ dan F₂)
• Garis yang melalui titik-titik F₁ dan F₂ disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
• Titik tengah F₁ dan F₂ disebut pusat hiperbola (P)
• Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
• Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
• Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

Contoh gambar:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0),  dan asimtot y = ± ½√2 x

Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6),  dan asimtot y = ± ½√2 x

Persamaan

Tips!
Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:

• Pada persamaan Lingkaran: koefisien x² dan y² sama
• Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x² saja atau y² saja)
• Pada persamaan Elips: koefisien x² dan y² bertanda sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif)
• Pada persamaan Hiperbola: koefisien x² dan y² berbeda tanda (salah satu positif, yang lain negatif)

Contoh:

• 3x² + 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
• 3x² + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
• 3x² + y² + 6x + y = 5 → Persamaan Elips
• 3x² – 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola

Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:

1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:

→    Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut

→    Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut

→    Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut

Contoh:
Tentukan kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x² + y² + 6x + y = 5
Cara:
3x² + y² + 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.5² + (–1)² + 6.5 + (–1) – 5  = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut

Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:

1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.
3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b² – 4.a.c)

→    Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut

→    Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik

→    Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik

Contoh:
Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x² + 3y + 6x = 5
Cara:
Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)² + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y²) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y² + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y² – 57y + 67 = 0
D = b² – 4.a.c = (–57)² – 4.12.67 = 33
Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung dengan gradien m

Persamaan garis singgung pada titik (x₁, y₁)
→ selalu gunakan sistem bagi adil:

(…)² menjadi (…).(…)

(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)

Pada salah satu (…) akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui

→ masukkan titik ke persamaan hasil bagi adil

1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung
2. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar

Potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik potong
Masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung

Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (2, 1)
Cara:
(2, 1) terletak pada lingkaran (2² + 1² + 4.2 = 13)
Persamaan bagi adil:
x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x₁ dan y₁:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung

Contoh 2:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (4, 1)
Cara:
(4, 1) terletak di luar lingkaran (4² + 1² + 4.4 = 33 > 16)
Persamaan bagi adil:
x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9
Masukkan (4, 1) sebagai x₁ dan y₁:
4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9
6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar
y = 1 – 6x
Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran:
x² + (1 – 6x)² + 4x – 13 = 0
x² + 1 – 12x + 36x² + 4x – 13 = 0
37x² – 8x – 12 = 0
Gunakan rumus abc:

Masukkan (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) ke dalam persamaan hasil bagi adil

Read the rest of this entry »

Peluang

• Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
  1. Kaidah Pencacahan
     Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x ..
  2. Faktorial
     Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
     n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n
     atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1
  3. Permutasi
     Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r &#8804 n) yang dinotasikan dengan _nP_r atau P(n,r) atau atau P_n,r
  • Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n!
  • Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah :
    
  • Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah :
    
  • Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah :
    P = (n – 1)!
  4. Kombinasi
     Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan
     disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan _nC_r atau C(n,r) atau atau C_n,r
     Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan :
     
  5. Binomial Newton
     
• Peluang Suatu Kejadian
1. Dalam suatu percobaan :
   • Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel
   • Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel
   • Hasil yang diharapkan disebut kejadian
2. Definisi Peluang
   Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A)
   terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan.
   Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1.
   Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian
3. Frekuensi Harapan
   Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan
   Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : F_h(A) = n x P(A)
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
   Jika A^c kejadian selain A, maka P(A)^c = 1 – P(A) atau
   P(A)^c + P(A) = 1
   P(A)^c = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A
• Kejadian Majemuk
1. Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku :
2. Peluang dua Kejadian saling lepas(asing)
   Jika maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B.
   Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah :
3. Peluang dua kejadian saling bebas
   Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas
   Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan :
4. Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan)
   Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A),
   maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat)
   Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan :

Read the rest of this entry »

Geometri Dimensi Tiga

RUANG DIMENSI TIGA

1. Volume Bangun Ruang (mengulang)
A. Kubus (Hilisaeder)

Kubus adalah suatu benda yang buat oleh enam bidang datar yang masing-masing berbentuk persegi panjang yang sama dan sebangun (kongruen) Keenam bidang kubus disebut bidang batas, bidang sisi, atau sisi kubus.
Rumus Euler

Hubungan sisi, rusuk, dan titik sudut suatu bangun ruang dirumuskan oleh euler dalam bentuk :
S + T = R + 2
Dengan : S = Banyak sisi
T = Banyak titik sudut
R = Banyak rusuk
Contoh :
Suatu bangun ruang dibentuk dari lima sisi dengan enam titik sudutnya, tentukan banyak rusuk bangun ruang itu?
Jawab :
Sisi : S = 5
Titik sudut : T = 6
Berdasrkan rumus euler : S + T = R + 2
5 + 6 = R + 2
11= R + 2
R = 11 – 2 = 9
Simetri pada Kubus
Bidang simetri kubus adalah bidang yang membagi kubus menjadi dua bagian yang sama besar, dengan bagian yang satu merupakan cermin bagian yang lain. Sumbu simetri putar adalah sumbu yang apabila kibus diputar pada sumbu tersebut maka kubus akan kembali menempati posisinya semula.

2. Luas Permukaan dan Volume Kubus
Bila panjang rusuk kubus adalah a, maka :

Contoh :
Volume sebuah kubus 27 liter, tentukanlah :
a. Luas Bidang diagonal kubus
b. Luas permukaan kubus
Jawab :
Volume = 27 liter = 27 dm
Volume = = 27 dm
= ( 3 dm )
= 3 dm
a. Luas bidang diagonal kubus
dm = = dm
b. Luas permukaan kubus
6 dm = 6(3) dm
= 6 . 9 dm = 54 dm .

B. Balok (Peralelepipedum siku-siku)
Luas permukaan dan Volume Balok
Jika balok dengan ukuran panjang = p, lebar = 1, dan tinggi = t, maka :
• Volume balok = P . T
• Luas permukaan balok = 2(p + t + pt)
• Luas balok tanpa tutup = p + 2( t + pt)
• Panjang diagonal ruang ( ), ditentukan oleh

C. Prisma
Prisma adalah suatu benda yang dibatasi oleh dua buah bidang yang yang sejajar dan oleh beberapa bidang yang memotong menurut garis-garis sejajar.
Sifat-sifat prisma Tegak :
o Semua bidang sisi tegaknya berbentuk persegi panjang
o Bidang alas dan bidang atasnya adalah sama dan sebangun
o Panjang semua rusuk tegaknya adalah sama
o Banyak diagonal ruang yang terdapat dalam prisma segi-n adalah buah.
o Semua bidang diagonal berbentuk jajaran genjang
o Banyak bidang diagonal yang terdapat dalam prisma segi-n adalah buah.
o Prisma segi-n mempunyai (n + 2) sisi
o Prisma segi-n mempunyai (3n) rusuk.
Contoh :
Diketahui suatu prisma tegak dengan alas segi enam dan tidak beraturan titik-titik :
a. Banyak diagonal ruangnya
b. Banyak bidang diagonalnya
c. Bangun/bentuk bidang diagonalnya
d. Banyak sisi
e. Banyak rusuk
Jawab :
Prisma masing-masing segi enam tidak beraturan, n = 6
a. Banyak diagonal ruang = buah
= 6 - 3.6 buah
= 18 buah.
b. Banyak bidang diagonal =9 buah.
c. Bidang diagonalnya berbentuk jajaran genjang
d. Banyak sisi = n + 2
= 6 + 2 = 8 buah
e. Banyak rusuk = 3n
= 3.6 = 18 buah.
D. Limas
Limas adalah suatu benda yang dibatasi oleh suatu segi dan beberapa segitiga dengan suatu titik diluar segi banyak sebagai titik sudut puncak persekutuan dan sisi-sisi segi banyak rusuk alas limas. Luas segi-n mempunyai n sisi tegak, 1 sisi alas dan 2n sisi tegak.
Luas Permukaan dan Volume Limas
I. Luas permukaan limas = Luas alas +Luas selimut
II. Volume Limas = x luas x tinggi
III. Volume bidang empat beraturan = .
Contoh :
Bila tinggi limas 12 cm dan panjang rusuk alasnya 10 cm. seperti pada gambar, ditanya :
a. Luas permukaan Limas
b. Volume Limas
Jawab :
Diketahui : a = 10 cm
t = 12 cm
berdasarkan teorema phytagoras pada T E F diperoleh :
= 5 + 12
= 169
= 13 C = 13 cm
a. Luas permukaan Lima s = Luas alas + Luas Limit
= a + 4 . . C
= a (a + 2 C)
= 10 (10 + 26)
= 10 . 36
= 360
Jadi luas permukaan limas : 360 cm
b. Volume Limas = x luas x tinggi
= a x t
= x 100 x 12
= 400
Jadi Volume limas = 400 cm .

E. Silinder, Kerucut dan Bola
I. Silinder atau tabung merupakan prisma tegak yang alasnya berupa lingkaran
II. Kerucut merupakan limas yang alasnya berbentuk lingkaran
III. Bola merupakan bangunan ruangan tiap titik pada permukaannya, mempunyai jarak yang sama terhadap titik pusatnya.
Contoh :
1. Tentukan Volume yang jari-jari alasnya 10 cm dan tingginya 25 cm
Jawab :
Diketahui : r = 10 cm
T = 25 cm
Jawab :
V =
= 3,14x10 x 25 (diambil = 3,14 r dan t bukan kelipatan 7)
= 314 x 25
= 7850 cm
Jadi Volume tabung adalah 7850 cm

2. Hitunglah berat kawat (dalam kg) yang panjangnya 1 km dan jari-jari penampangnya 1,4 mm. apabila 1cm kawat beratnya 8,5 gram?
Jawab :
Diketahui : t = 1 km = 100.000 cm
R = 1,4 mm = 0,14 cm
Jawab :
V = V = x (0,14) x 100.000
= 6.160 cm
Barat kawat = 6.160 x 8,5 gram
= 52.360 gram
Jadi berat kawat = 52.360 gram = 52.36 kg.
MELUKIS BANGUN RUANG.
Proyeksi
Proyeksi merupakan cara untuk melukis suatu bangun datar (dua dimensi) atau bangun ruang (tiga dimensi) pada bidang datar dengan cara menjatuhkan setiap titik pada bangun atau bentuk kebidang proyeksi.
Kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang.
Pengertian dasar unsur-unsur dalam Ruang
- Titik
Titik tidak mempunyai ukuran dan sering disebut benda berdimensi nol
- Garis (garis lurus)
Sebuah garis panjang tak hingga, karena itu gambar sebuah garis biasanya dilukiskan dengan wakil dari garis itu.
- Bidang
Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar dan dapat dijumpai sebagai permukaan atau sisi dari benda luar.
Jarak Dalam Ruang
Jarak adalah panjang garis hubung terpendek antara dua unsure ruang, yaitu titik, garis, dan bidang.
- Jarak antar dua buah titik
Adalah panjang garis yang menghubungkan ke dua titik itu.
- Jarak titik ke bidang
Proyeksi sebuah titik kebidang adalah titik potong garis yang melalui titiktersebut dengan bidang dimana garis itu tegak lurus terhadap bidangnya. Jarak titik terhadap bidang sama dengan panjang garis yang menghubungkan titik dengan proyeksi pada bidang.
Sudut Dalam Ruang
- Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis, masing-masing satupada setiap bidang, dimana kedua garis tersebut tegak lurus pada garis potong ke dua bidang dan berpotongan pada satu titik digaris potong ke dua bidang tersebut, sudut ini disebut tumpuan.
- Sudut antar garis dan Bidang
Sudut antar garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang.
- Garis tegak lurus bidang
Jika sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang sama dengan 90 maka garis tersebut dikatakan tegak lurus bidang.
Soal Dan Pembahasan
1. Jika volume kubus 27 cm , panjang diagonalnya sisi kubus adalah …
Jawab :
Diketahui : volume = 27 cm
Misalnya panjang rusuk kubus = 0
Volume kubus = a
27 = a
a = 3
Jadi panjang rusuk kubus = 3 cm, panjang diagonalnya/sisi kubus adalah cm.

2. Perhatikan gambar kubus ABCD, EFGH dibawah. Titik p merupakan titik potong diagonal bidang atas, jarak antara titik B dengan titik P adalah…
Jawab :
Bahwa BFP adalah siku-siku di F. dengan teorema Pythagoras :
BP = BF + FP
BF = 6 cm dan FP = x FH =
Jadi : BP = 6 + ( )
BP = 36 + 18
BP = 54

3. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm, jarak antara BE dengan bidang CDHG adalah….
Jawab :
BE sejajar dengan bidang CDHG. CH terletak pada bidang CDHG dan sejajar dengan BE. Jarak BE dengan bidang CDHG sama dengan panjang BC.
BC = 2 cm.
Jadi jarak antara bidang CDHG adalah 2 cm.

4. Hitunglah jari-jari bola yang mempunyai luas permukaan 6,6 cm .
Jawab :
Luas permukaan bola = 4 r
6,6 = 4 x x r
r =
r = 7 cm.

5. Hitunglah luas permukaansebuah bola yang bervolume 36 cm .
Jawab :
Volume bola =
36 =
r =
r = 3 cm
luas permukaan bola = 4 r
= 4 x x 3
= cm .

6. Belahan bola padat mempunyai diameter 20 cm. hitunglah luas permukaan belahan bola padat tersebut.
Jawab :
Belahan bola padat memiliki permukaan bola dan lingkaran dengan
d = 20 cm r = 10 cm
luas permukaan belahan bola padat
= luas bola + luas lingkaran
= (4 r ) + r
= 2 r + r
= 3 r
= 3 x 3,14x10
= 942 cm

7. Sebuah lilin lunak berbentuk limas mempunyai volume 792 cm . apabila lilin tersebut dirubah bentuknya menjadi sebuah kerucut dengan tinggi 21 cm. hitunglah jari-jari alas kerucut tersebut
Jawab :
Volume limas = Volume kerucut
792 = r t
792 = x x r x 21
792 x
36 = r
r = 6 cm

8. Sebuah balok yang kerangkanya terbuat dari kawat, berukuran 25 cm x 10 cm x 7 cm. berapakah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka balok itu?
Jawab :
P = 25 cm = 10 cm dan t = 7 cm
Pada balok terdapat empat rusuk panjang, lebar, tegak maka 4 ( 25 + 10 + 7 ) = 168 cm

9. Volume sebuah kubus 27 liter, tentukan :
a. Luas Bidang kubus
b. Luas permukaan Kubus
Jawab :
Volume = 27 liter = 27 dm
Volume = a = 27 dm
a = (3 dm)
a = 3 dm
a. Luas bidang diagonal kubus
b. Luas permukaan kubus
= 6 a dm
= 6 (3) dm
= 6 . 9 dm
= 54 dm

10. Suatu bangun ruang dibentuk dari limas sisi dengan enam titik sudutnya. Tentukan banyak rusuk bangun ruang itu.
Jawab :
Sisi = S = 5
Titik sudut : T = 6
Berdasarkan rumus S + T = R + 2
5 + 6 = R + 2
11 = R + 2
R = 11 – 2 = 9
Jadi banyaknya rusuk bangun ruang itu ada 9 buah.

Read the rest of this entry »

Relasi dan Fungsi

Relasi dan Fungsi

A. Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.


Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

2. Dengan Diagram Panah

3. Dengan Diagram Cartesius

4. Dengan Rumus




1. Himpunan Pasangan Berurutan.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.




2. Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

1.Membuat dua lingkaran atau ellips

2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

3. x dan y dihubungkan dengan anak panah

4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi

5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi




3. Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar

2. y=B diletakkan pada sumbu tegak

3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)




4. Dengan Rumus

f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}





B. Fungsi

Definisi Fungsi

Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf

lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f

kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.




Sifat Fungsi :

1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.

2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.

3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.

4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)

Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.

Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.




Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

A). Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

B). Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak

Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

D). Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

E). Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

F). Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

G). Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.




Fungsi Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan

tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif

atau dalam korespondensi satu-satu.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara

berikut ini.

a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.

b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).

c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).




Aljabar Fungsi

a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).

b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).

c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).




Fungsi Komposisi

Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi

Read the rest of this entry »

Geometri Dimensi Dua

Definisi dan pengukuran sudut --Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua ruas garis dan titik. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan dengan : “< “ huruf-huruf Yunani seperti : α, β, θ dan lain-lain. Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan Busur.

Sudut disebelah diberi nama sudut α atau
< ACB.

Untuk menentukan besarnya suatu sudut
biasanya dinyatakan dengan derajat ( ^o)
atau radian

Gambar 4-1

Cara mengukur besarnya sudut dengan Busur:

¾ Letakkan menempel garis 0^o pada busur ke salah satu ruas garis yang akan diukur
besar sudutnya

¾ Letakkan titik pusat busur (titik pusat ½ lingkaran) pada titik sudut dan ruas garis
yang lain terletak di dalam busur

¾ Ukur besar sudutnya dengan menggunakan skala pada busur

Secara garis besar, besarnya suatu sudut terbagi menjadi tiga bagian, yaitu: ¾ Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90^o.
¾ Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90^o ¾ Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90^o

Ukuran sudut dalam derajat yang lebih kecil dapat dinyatakan dalam menit (') dan
detik(")

1 derajat = 60 menit dan 1 menit = 60 detik

Contoh 1

Nyatakan ukuran sudut di bawah ini dalam derajat, menit dan detik:

a. 34,3^o b. 79,18^o c. 137,82^o

Jawab:

a. 34,3^o = 34^o + 0,3^o = 34^o + 0,3 x 60' = 34^o 18'

b. 79,18^o = 79^o + 0,18^o

= 79^o + 0,18 x 60'

= 79^o + 10,8'

= 79^o + 10' + 0,8' = 79^o + 10' + 0,8 x 60'' = 79^o 10' 48''

c. 137,82^o = 137^o + 0,82^o = 137^o + 0,82 x 60' = 137^o + 49,2'

= 137^o +49' + 0,2'

= 137^o +49' + 0,2 x 60'' = 137^o 49' 12''

Contoh 2

Nyatakan ukuran sudut di bawah ini dalam derajat saja:

a. 38^o 25' 18''

Jawab:

a. 38^o 24' 18'' = ( 38 +

b. 47^o 27' 36''

24 18

+ )^o

60 3.600

= ( 38 + 0,4 + 0,005)^o = 38,405^o

b. 47^o 27' 36''

27 36

= ( 47 + + )^o

60 3.600
= ( 47 + 0,45 + 0,01)^o = 47,46^o

2). Pengubahan derajat ke radian atau sebaliknya

Pengukuran sudut berdasarkan ukuran radian didasarkan anggapan bahwa :

“ satu radian = besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari”

Jika OA dan OB adalah jari-jari = r dan busur AB juga panjangnya r maka < AOB sebesar 1 radian.
Kita sudah mengetahui bahwa : 1 putaran = 360^o Dan keliling lingkaran : k = 2 π r maka berdasarkan rumus perbandingan pada lingkaran berlaku:

∠AOB

o

360

1 radian

=

panjang busur AB
keliling lingkaran
r

o =

360 2π r

Gambar 4-2 2 π radian = 360^o

(kalikan silang diperoleh)

π radian = 180^o ≈ 3,14 radian = 180^o

1 radian ≈ 57,3^o

Contoh 3

Ubahlah ukuran radian di bawah ini ke dalam derajat :

a. 2 radian b. 1,5 radian

Jawab:

a. 2 radian = 2 x 57,3 ^o = 114,6 ^o

b. 1,5 radian = 1,5 x 57,3 ^o = 85,95 ^o 1 1

1

c. π radian

2

c. π radian = x 180^o = 90^o

2 2

Contoh 4

Ubahlah ukuran derajat ini kedalam radian:

a. 40,3^o

Jawab:

a. 40,3^o =

b. 30^o =

b. 30^o

40,3

radian = 0,703 radian
57,3

30

radian = 0,524 radian atau

c. 120^o

π 1
30^o = 30 x radian = 6 π radian

57,3

c. 120^o = 120 x

180

π 2

radian = π radian
180 3

Read the rest of this entry »