Program Linier

Dalam kehidupan sehari-hari, kata statistik dapat diartikan sebagai kumpulan angka-angka yang menggambarkan suatu masalah. Statistik korban gempa kabupaten Bantul misalnya, berisi angka-angka mengenai banyaknya korban misalnya yang mengalami luka ringan, luka berat, dan meninggal. Contoh lain misalnya data korban kecelakaan lalu lintas dari kantor polisi lalu lintas.

Statistik juga diartikan sebagai suatu ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu. Misalnya rata-rata skor tes matematika kelas XI adalah 78 atau benda lebih dari 90% penduduk Indonesia berada di pedesaan. Sedangkan pengertian statistika sesungguhnya adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara penyusunan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan mengenai suatu keseluruhan berdasarkan data yang ada pada bagian dari keseluruhan tadi. Keseluruhan objek yang diteleti disebut populasi sedangkan bagian dari populasi disebut sampel.

Menurut fungsinya, statistika dibedakan menjadi dua jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika induktif (inferensial). Statistika deskriptif adalah bagian statistika yang mempelajari cara penyusunan dan penyajian data yang dikumpulkan. Penyusunan data dimaksudkan untuk memberikan gambaran mengenai urutan data atau kelompok data, sehingga pengguna data dapat mengenalinya dengan mudah. Penyajian data dimaksudkan untuk memberikan gambaran mengenai data atau kelompok data dalam bentuk tabel, diagram, atau gambar.
Statistika induktif atau inferensial adalah bagian statistika yang mempelajari tata cara penarikan kesimpulan yang valid mengenai populasi berdasarkan data pada sampel. Dalam menarik kesimpulan pada statistika inferensial biasanya digunakan unsur peluang.

Bila membicarakan statistika, maka tidak lepas dengan apa yang disebut data. Data dapat diartikan sebagai keterangan yang diperlukan untuk memecahkan suatu masalah. Berikut ini diberikan macam-macam data ditinjau menurut sifatnya, yaitu:

1. Data kualitatif, yaitu data yang berbentuk kategori atau atribut.
Misal:

a. Harga mobil semakin terjangkau

b. Murid-murid di SD Negeri 3 rajin-rajin.
2. Data kuantitatif, yaitu data yang berupa bilangan.
Misal:
a. Banyaknya siswa pada kelas II adalah 240.
b Tinggi pohon itu adalah 10 meter.
Menyajikan data dalam bentuk diagram
Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.

Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

Contoh soal
Ranah privat (pengaduan) dari koran Solo Pos pada tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkan
seperti tabel berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran.
Penyelesaian
Sebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya sudut dalam lingkaran dari data tersebut.
1. CPNS/Honda/GTT = 5/100 x 360° = 18°
2. Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan = 9/100 x 360° = 32,4°
3. Masalah lingkungan/kebersihan = 6/100 x 360° = 21,6°
4. Kesehatan/PKMS/Askeskin = 3/100 x 360° = 10,8°
5. Lalu lintas/penertiban jalan = 6/100 x 360° = 21,6°
6. Revitalisasi/budaya Jawa = 20/100 x 360° = 72°
7. Parkir = 3/100 x 360° = 10,8°
8. Pekat/penipuan/preman = 7/100 x 360° = 25,2°
9. Persis/olahraga = 10/100 x 360° = 36°
10. PKL/Bangunan liar = 2/100 x 360° = 7,2°
11. PLN dan PDAM = 2/100 x 360° = 7,2°
12. Provider HP = 7/100 x 360° = 25,2°
13. Tayangan TV/radio/koran = 3/100 x 360° = 10,8°
14. Lain-lain = 17/100 x 360° = 61,2°
Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut.

Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah. Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh soal
Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalah
sebagai berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian
Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.

Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi
Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika
dari 40 siswa kelas XI berikut ini.
66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80
dari data diatas, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi sbb:

Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi
bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.
a. Interval Kelas
Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas
saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.
65 – 67 → Interval kelas pertama
68 – 70 → Interval kelas kedua
71 – 73 → Interval kelas ketiga
74 – 76 → Interval kelas keempat
77 – 79 → Interval kelas kelima
80 – 82 → Interval kelas keenam
b. Batas Kelas
Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80
merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79,
dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.
c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepi
bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.
d. Lebar kelas
Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:
Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.
e. Titik Tengah
Untuk mencari titik tengah dapat dipakai rumus:
Titik tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah)
Dari tabel di atas: titik tengah kelas pertama = 1/2(67 + 65) = 66
titik tengah kedua = 1/2(70 + 68) = 69
dan seterusnya.
Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

Dari tabel di atas dapat dibuat daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari seperti berikut.

Histogram

Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan
sebagai berikut.

Poligon Frekuensi
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnya
dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas
dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.

contoh soal:
Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi
bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.

Penyelesaian
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Poligon Frekuensi Kumulatif
Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di samping.
a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.
b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.

b. Ogive naik dan ogive turun
Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidang
Cartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; …; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; …; 79,5)
diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi
kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan
dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive,
yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan
distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan
distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.
Ogive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.

 

 

 

Semoga Bermanfaat :-)

Read the rest of this entry »

Aproksimasi Kesalahan

A. Pengertian Membilang dan Mengukur

        Membilang adalah suatu kegiatan yang hasilnya bersifat eksak (pasti). Contoh: Banyaknya telur dalam keranjang, tumpukan baju yang ada di dalam lemari, dan banyaknya siswa dalam kelas. Mengukur adalah suatu kegiatan yang hasilnya tidak bersifat eksak. Contoh: Tinggi monas, volume air dalam bak mandi, dan kecepatan kendaraan. 

Terdapat 3 cara pembulatan:

1. Pembulatan ke Ukuran Satuan Terdekat

    Contoh:

    58,66 cm    = 59 cm (pembulatan ke cm terdekat)

12,18 detik = 12,2 detik (pembulatan ke persepuluhan detik terdekat)

2. Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal

    Contoh:

    Tentukan pembulatan 13,2503 ke:

    a. pembulatan sampai 3 tempat desimal

    b. pembulatan sampai 2 tempat desimal

    c. pembulatan sampai 1 tempat desimal

    Jawab:

    a. 13,250 (pembulatan sampai 3 tempat desimal)

    b. 13,25 (pembulatan sampai 2 tempat desimal)

    c. 13,3 (pembulatan sampai 1 tempat desimal)

3. Pembulatan ke Banyaknya Angka-Angka Signifikan

    Contoh:

    Tentukan banyaknya angka signifikan dari soal berikut!

    a. 8,146 = memiliki 4 angka signifikan

    b. 7,07   = memiliki 3 angka signifikan

    c. 0,021 = memiliki 2 angka signifikan

    d. 4,050 = memiliki 4 angka signifikan

Aturan Pembulatan

"Jika angka berikutnya (yang akan dihilangkan) lebih besar dan sama dengan 5, angka ini hilang dan angka di depannya ditambah satu. Jika angka berikutnya (yang akan dihilangkan) lebih kecil dari 5, angka ini dihilangkan dan angka di depannya tetap".

B. Kesalahan Pengukuran

1. Salah Mutlak

              Salah Mutlak = ½ ´ Satuan Ukuran Terkecil

Contoh:

     Pak Huda menimbang 1 kantong plastik yang berisi buah apel. Angka pada timbangan menunjukkan 2,5 kg. Tentukanlah salah mutlak dari pengukuran yang dilakukan oleh Pak Huda!

Jawab:

Hasil pengukuran = 2,5 kg

Salah mutlak = ½ ´ satuan ukuran terkecil

                    = ½ ´ 0,1 kg

                           = 0,05 kg

2. Salah Relatif

             Salah relatif = Salah Mutlak per Hasil Pengukuran

Contoh:

Setiap cincin ketika ditimbang ternyata beratnya 0,8 kg. Tentukanlah salah relatif dari pengukuran tersebut!

Jawab:

Satuan ukuran terkecil = 0,1 gram

Salah mutlak = 1/2 x 0,1 gram = 0,05 gram

Salah relatif = 0,05/0,8 = 0,0625 gram

3. Persentase Kesalahan

              Persentase Kesalahan = Salah Relatif x 100%

Contoh:

Sepucuk surat setelah ditimbang, ternyata beratnya 0,8 gram.

Carilah persentase kesalahan pengukuran tersebut!

Jawab:

Satuan ukuran terkecil = 0,1 gram

Salah mutlak relatif = 1/2 x 0,1 gram = 0,05 gram

Salah relatif = 0,05/0,8 = 0,0625 gram

Persentase kesalahan = 0,0625 x 100% = 6,25 %

4. Toleransi

              Toleransi = Batas Atas - Batas Bawah

Contoh:

Diketahui hasil pengukuran 65 cm. Tentukanlah nilai toleransinya!

Jawab:

Salah Mutlak = 0,5

Batas atas     = Hasil pengukuran + Salah mutlak

                     = 65 + 0,5 = 65,5 cm

Batas bawah  = Hasil pengukuran - Salah mutlak
                     = 65 - 0,5 = 64,5 cm
Toleransi       = Batas atas - Batas bawah
                    = 65,5 - 64,5 = 1 cm


C. Operasi Hitung Hasil Pengukuran
1. Penjumlahan Hasil Pengukuran
              Jumlah maksimum = BA pengukuran I + BA Pengukuran II
              Jumlah minimum    = BB pengukuran I + BB Pengukuran II
2. Pengurangan Hasil Pengukuran
              Selisih maksimum = BA pengukuran I - BB Pengukuran II
              Selisih minimum    = BB pengukuran I - BA Pengukuran II
3. Perkalian Hasil Pengukuran
              Ukuran maksimum = BA pengukuran I x BA Pengukuran II
              Ukuran minimum    = BB pengukuran I x BB Pengukuran II



Keterangan:
BA  = Batas Atas
BB  = Batas Bawah



Contoh:
Hasil pengukuran dua buah tali adalah 25 cm dan 24 cm. Tentukanlah:
a. Jumlah hasil pengukuran
b. Selisih hasil pengukuran
c. Perkalian hasil pengukuran
Jawab:
> Hasil pengukuran 25 cm
   Batas atas     = 25 + 0,5 = 25,5 
   Batas bawah = 25 - 0,5 = 24,5
> Hasil pengukuran 24 cm
   Batas atas     = 24 + 0,5 = 24,5
   Batas bawah = 24 - 0,5 = 23,5
a. Jumlah maksimum   = 25,5 + 24,5 = 50 cm
    Jumlah minimum     = 24,5 + 23,5 = 48 cm
b. Selisih maksimum   = 25,5 - 23,5 = 2 cm
    Selisih minimum      = 24,5 - 24,5 = 0 cm
c. Ukuran maksimum  = 25,5 x 24,5 = 624,75 cm
    Ukuran minimum    = 24,5 x 23,5 = 575,75 cm

Read the rest of this entry »