Transformasi Geometri

Kali ini rumus matematika akan membahas materi mengenai transformasi geometri. Mungkin teman-teman telah tahu tentang transformasi geometri, untuk lebih memahami mengenai materi ini berikut ini akan dijelaskan secara terperinci hal-hal mengenai transformasi geometri.

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi(Pencerminan)
3. Rotasi(Perputaran)
4. Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ini ilustrasinya :

TRANSLASI / PERGESERAN

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :

dimana :

• a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
• b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

REFLEKSI / PENCERMINAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

• terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
• terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
• terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

• terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
• terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

• terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
• terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Pencerminan terhadap garis y = mx + c
Jika m = tan θ maka:



ROTASI / PERPUTARAN

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

• +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
• +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
• +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

DILATASI / PENSKALAAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

• dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
• dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Selain 4 transformasi yang telah dijelaskan diatas, juga terdapat 2 transformasi lagi yaitu shearing / gusuran dan stretching / regangan. Perhatikan penjelasan dibawah ini :
GUSURAN/SHEARING

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) akan digusur:

• menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(6, 1), C2(16, 6), D2(13, 6)
• menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 3), B3(4, 9), C3(4, 14), D3(1, 8)

Pengaruh nilai k:

• untuk gusuran menurut arah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
• untuk gusuran menurut arah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan sebagai berikut :
Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k maka :

Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k maka :

STRETCHING / REGANGAN

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) diregangkan:

• searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(12, 1), C2(12, 6), D2(3, 6)
• searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 2), B3(4, 2), C3(4, 12), D3(1, 12)

Pengaruh nilai k:

• untuk regangan searah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
• untuk regangan searah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k

Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

KOMPOSISI TRANSFORMASI
merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.

Komposisi Khusus :
1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar

2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.
3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.
4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.

LUAS HASIL TRANSFORMASI
Transformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :

Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.
Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)
Penyelesaian :
cara 1 : cara langsung

cara 2 : menggunakan matriks

Demikian informasi mengenai Transformasi Geometri, semoga dapat bermanfaat dan dapat membantu lebih memahami materi tersebut dan materi matematika pada umumnya.

Read the rest of this entry »

Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

Tentang fungsi trigonometri yaitu mengenai trigonometri dasar, identitas trigonometri juga rumus-rumus dalam trigonometri telah kita pelajari bersama sebelumnya. Sekarang ini yang akan kita pelajari mengenai persamaan dan pertidaksamaan dalam trigonometri. Artikel ini bertujuan untuk memudahkan sobat semua dalam belajar matematika, sehingga ketika menemui soal mengenai persamaan ataupun pertidaksamaan trigonometri tidak akan merasa kesulitan.

Persamaan Dasar

sin x = sin a                  
x = a + k.360° atau x = (180 – a) + k.360° (kuadran I atau II)
cos x = cos a
x = a + k.360° atau x = –a + k.360° (kuadran I atau IV)
tan x = tan a
x = a + k.180
dalam hal ini k = bilangan bulat

Notes :
Jika tedapat persamaan cos x = sin a, cot x = tan a, sec x = cosec a, atau sebaliknya, salah satu diubah menjadi (90 – a)°. Misalnya : cos x = sin a → cos x = cos (90 – a)°

Perhatikan contoh berikut :
1.Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°
Jawab :
2 cos x = √3
cos x = ½ √3
cos x = cos 30°
x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°
k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°
k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°
Sehingga HP = {30°, 150°}

2.Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°
tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°
tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°
60° – ½ x = –x – 30° + k.180°
x – ½ x = –30° – 60° + k.180°
½ x = –90° + k.180°
x = –180° + k.360°
k = 1 → x = 180°
Sehingga  HP = {180°}

Persamaan bentuk a cos nx + b sin nx

Jika kita menemukan persamaan dalam bentuk a cos nx + b sin nx maka kita ubah menjadi k cos(nx – α)
dimana

Kemudian  diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan dasar cos x = cos a
Penentuan letak α:

• Jika a +, b + → α di kuadran I
• Jika a –, b + → α di kuadran II
• Jika a –, b – → α di kuadran III
• Jika a +, b – → α di kuadran IV

Untuk persamaan a cos nx + b sin nx = c,
syarat agar persamaan ini dapat diselesaikan:

Dan persamaan ini tidak dapat diselesaiakan jika :

Persamaan bentuk a cos²x + b sin x.cos x + c sin²x = d

Ketika terdapat bentuk persamaan a cos²x + b sin x.cos x + c sin²x = d. Untuk menyelesaikannya lakukan dengan mengubah unsur-unsurnya seperti berikut ini:

Selanjutnya persamaan diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

Persamaan bentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0

Untuk persamaan bentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0, untuk menyelesaikannya kita dapat mengikuti cara sebagai berikut :
Misalkan (cos x ± sin x) = p
maka
(cos x ± sin x)² = p²
cos²x ± 2 sin x.cos x + sin²x = p²
1 ± 2 sin x.cos x = p²
± 2 sin x.cos x = p² – 1
Sehingga 2 sin x.cos x = ± ½ (p² – 1)
Sehingga persamaan di atas akan menjadi persamaan kuadrat:
a.p ± ½ b(p² – 1) + c = 0
Selesaikan dengan cara pemfaktoran atau rumus abc untuk mendapatkan nilai p, selanjutnya persamaan cos x ± sin x = p dapat diselesaikan dengan cara seperti menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

Nilai ekstrim y = a cos nx + b sin nx + c

Pertidaksamaan Trigonometri

Langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri pada hakikatnya hampir sama dalam menyelesaikan persamaan trigonometri. Hany terdapat tambahan menentukan daerah penyelesaian. Berikut ini langkahnya :
1. mencari harga nol sama dengan cara menyelesaikan persamaan trigonometri
2. diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan
Contoh:
Selesaikan sin 2x < cos x  untuk 0 ≤ x ≤ 360°
Penyelesaian :
sin 2x – cos x < 0
2 sin x.cos x – cos x < 0
cos x.(2 sin x – 1) < 0
harga nol:

• cos x = 0

cos x = cos 90°
x = 90° + k.360°      atau      x = –90° + k.360°
k = 0 → x = 90°                        k = 1 → x = 270°

• 2 sin x – 1 = 0

2 sin x = 1
sin x = ½
sin x = sin 30°
x = 30° + k.360°        atau      x = (180 – 30)° + k.360°
k = 0 → x = 30°                         x = 150° + k.360°
k = 0 → x = 150°
Memberi tanda (+) dan (-) pada garis bilangan:
Jika x = 180° maka sin 2.180° – cos 180° = sin 360° – cos 180° = 0 – (–1) = 1 (+)
Jadi garis bilangannya:

berdasarkan soal yang diminta kurang dari (<) 0, maka yang diarsir adalah bagian-bagian yang bertanda (-)
Sehingga HP-nya: {0° ≤ x < 30° atau 90° < x < 150° atau 270° < x ≤ 360°}

Sekian informasi mengenai persamaan dan pertidaksamaan trigonometri. Semoga dapat Bermanfaat.

Read the rest of this entry »

Rumus dan Aturan Trigonometri dalam Segitiga

Rumus dan Aturan Trigonometri dalam Segitiga – Dear sobat hitung, kali ini rumushitung.com ingin sharing sekaligus ngingetin kembali aturan dan rumus trigonometri yang berlaku dalam segitiga (aturan sinus, aturan cosinus, dan aturan luas). Dalam beberapa soal trigonometri melibatkan berbagai hal terkait segitiga dan kita kadang bingung aturan trigonometri yang mana sih yang harus dipakai. Misalnya sobat ketemu soal seperti di bawah ini. Perhatikan gambar segitiga di bawah, Coba sobat tentukan berapa luas segitiga tersebut?

hayoo pakai aturan trigonometri segitiga yang mana? Mau pakai rumus luas segitiga yang biasa tidak bakal ketemu, adanya sobat malah bingung. Okey untuuk mengingatkan sobat kembali berikut rangkuman tentang aturan trigonometri dalam segitga.

1. Aturan Sinus dalam Segitiga

 

Pada segitiga di atas berlaku

loh, darimana asalnya aturan sinus tersebut? mari kita cari tahu pembuktiannya berikut
pembuktian aturan sinus paling mudah melalui pendekatan pembuktian dari rumus luas segitiga. Silahkan baca pembuktian rumus luas segitiga di bagian akhir postingan ini terlebih dahulu. Menurut aturan luas segitiga di dapat
L = ½ bc. sin α … ₍₁₎
L = ½ ac. sin β … ₍₂₎
L = ½ ab. sin γ … ₍₃₎

Persamaan (1) dan (2)
L = L
½ bc. sin α = ½ ac. sin β (coret yang sama)
b sin α = a sin β
b/sin β = a/sin α
Persamaan (1) dan (3)
L = L
½ bc. sin α = ½ ab. sin γ
c. sin α = a sin γ
c/sin γ = a/sin α
nah terbukti kan aturan sinus segitiganya.
contoh soal
Misalkan pada segitiga ABC, ∠ A =30^o, BC = 6 dan AC = 10, tentukan berapa besar ∠B

jawab :
BC/sin A = AC/ sin B
6/ sin 30^o = 10/ sin B
6/ 0,5 = 10 / sin B
12 = 10/sin B
sin B = 10/12 = 5/6
maka sudut B adalah 56,44^o

2. Atuan Cosinus dalam Segitiga

Pasa sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, C, panjang sisi a,b,c, dan sudut α, β, γ berlaku aturan cosinus

 

a² = b² + c² – 2bc cos α
b² = a² + c² – 2ac cos β
c² =  a² + b² – 2ab cos γ

Pembuktian aturan cosinus

Darimana dapatnya aturan cosinus di atas? Jawabannya adalah

c² = (a sin γ)² + (b-a cos γ)²
c² = a² sin² γ + b²- 2ab cos γ + a² cos² γ
c² = a² sin² γ + a² cos² γ + b²- 2ab cos γ
c² = a² (sin² γ + cos² γ) + b²- 2ab cos γ (ingat sobat sin² a + cos² a = 1)
c² = a²+ b²- 2ab cos γ… (terbukti)

contoh soal

Perhatikan gambar di atas. Titik P dan Q dinyatakan dengan korrdinat polar. Tentukan jarak antar titik P dan Q.
Jawab:
Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.
Besar sudut POQ = 180^o – (75^o+45^o) = 60^o.
PQ² = OQ² + OP² – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ² = 3² + 5² – 2.3.5 cos 60^o c
PQ² = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ² = 9 + 25 -15
PQ² = 19
PQ = √19 = 4,36

3. Aturan Trigonometri Luas Segitiga

Selain aturan sinus dan cosinus dalam segitiga berlaku rumus luas segitiga menggunakan aturan trigonometri.
Jika sobat punya sebuah segitiga seperti gambar di bawah ini

maka berlaku aturan

Luas Segitiga ABC
= ½ bc. sin α
= ½ ac. sin β
= ½ ab. sin γ

 Eh..eh.. dari mana dapetnya rumus tersebut? The proof is..
pembuktian rumus ini sangat mudah jika sobat punya sebuah segitiga sembarang seperti ini

Perhatikan segitiga di atas, rumus luas segitiga adalah ½ x alas x tinggi. Kita ganti nilai tinggi dengan c sin α atau a sin γ maka didapat
L = ½ b. c. sin α atau
L = ½ b. a. sin γ
Gampang kan sebenarnya. Hehehe

contoh soal
Jika sobat rumushitung  berikan selembar karton warna ungu dengan bentuk segitiga  seperti gambar berikut

coba sobat tentukan luas  segitiga tersebut
Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30^o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

Ayo sobat hitung, buat melatih pemahaman kita tentang aturan trigonometri (aturan sinus, aturan cosinus, dan aturan luas) segitiga boleh dicoba latihan soal berikut:
1. Perhatikan gambar segitiga di bawah ini lalu tentukan perbandingan antara PQ dan PR

a. 4 : 3                    b. 3 : 4
c. √3 : √2               d. √2 : √3
2. Luas dari segitiga di bawah ini adalah?

a. 12 cm²               b. 12√3 cm²
c. 12 √2 cm²          d. 14 cm²
3. Pada gambar di samping tentukan nilai dari x

a. 2√3                    b. 2√10
c. 2√7                    d. 2√5
Okey sobat silahkan dicoba soal mengenai aturan sinus, cosinus, dan luas segitiga. Semoga bermanfaat.

Read the rest of this entry »